n 阶行列式的常见类型和计算方法
# 前置知识
3.2 n 阶行列式的定义和性质
# 利用范德蒙德行列式
范德蒙德行列式长这样：
Vn=∣11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1∣=∏1≤j 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n - 1} & a_2^{n - 1} & \cdots & a_n^{n - 1} \end {vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n} (a_i - a_j) Vn=1a1a12⋮a1n−11a2a22⋮a2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1anan2⋮ann−1=1≤j 例 1.1.1. 求下列行列式： ∣11⋯1222⋯2n332⋯3n⋮⋮⋱⋮nn2⋯nn∣\begin {vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2^2 & \cdots & 2^n \\ 3 & 3^2 & \cdots & 3^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n^2 & \cdots & n^n \end {vmatrix} 123⋮n12232⋮n2⋯⋯⋯⋱⋯12n3n⋮nn 解：注意到这个行列式的各行元素是一个数的不同方幂，方幂次数递升，让我们想到了范德蒙德行列式，但是是从 111 递升至 nnn，而标准形式是从 000 递升至 nnn，因此我们可以每行都提出一个公因数，转换成标准形式。 ∣11⋯1222⋯2n332⋯3n⋮⋮⋱⋮nn2⋯nn∣=n!∣111⋯11222⋯2n−11332⋯3n−1⋮⋮⋮⋱⋮1nn2⋯nn−1∣=n!∏1≤j & \begin {vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2^2 & \cdots & 2^n \\ 3 & 3^2 & \cdots & 3^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n^2 & \cdots & n^n \end {vmatrix} \\ = & n! \begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2^2 & \cdots & 2^{n - 1} \\ 1 & 3 & 3^2 & \cdots & 3^{n - 1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & n & n^2 & \cdots & n^{n - 1} \end {vmatrix} \\ = & n! \prod_{1 \le j < i \le n} (a_i - a_j) \\ = & n! (2 - 1) (3 - 1) \cdots (n - 1) (3 - 2) (4 - 2) \cdots (n - 2) \cdots [n - (n - 1)] \\ = & n! (n - 1)! (n - 2)! \cdots 2! 1! \end {aligned} ====123⋮n12232⋮n2⋯⋯⋯⋱⋯12n3n⋮nnn!111⋮1123⋮n12232⋮n2⋯⋯⋯⋱⋯12n−13n−1⋮nn−1n!1≤j # 箭形（爪形）行列式 此类行列式的特征：两边加一条对角线上有元素，其余元素是 000。 计算目标：将第一行或第一列除 a1,1a_{1, 1}a1,1 以外的元素全化为 000，转化为三角矩阵。 例 2.2.2. 求下列行列式： Δ=∣a0b1b2⋯bnc1a10⋯0c20a2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮cn00⋯an∣\Delta = \begin {vmatrix} a_0 & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ c_1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ c_2 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_n & 0 & 0 & \cdots & a_n \end {vmatrix} Δ=a0c1c2⋮cnb1a10⋮0b20a2⋮0⋯⋯⋯⋱⋯bn00⋮an 解：当 aia_iai 不等于 000，将行列式中第 i+1i + 1i+1 列的 −ciai- \dfrac {c_i} {a_i}−aici 倍加到第一列，即可得到三角矩阵。 Δ=∣a0−∑i=1ncibiaib1b2⋯bn0a10⋯000a2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯an∣=∏j=1naj(a0−∑i=1nbiciai)\Delta = \begin {vmatrix} a_0 - \sum\limits_{i = 1}^n \frac {c_i b_i} {a_i} & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end {vmatrix} = \prod_{j = 1}^n a_j \left( a_0 - \sum_{i = 1}^n \frac {b_i c_i} {a_i} \right) Δ=a0−i=1∑naicibi00⋮0b1a10⋮0b20a2⋮0⋯⋯⋯⋱⋯bn00⋮an=j=1∏naj(a0−i=1∑naibici) # 加边法（升阶法） 顾名思义，在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变。 适用于具有如下特征的行列式：每行或每列除对角线上元素外分别是某些数的同一倍元。 再经过一系列初等行变换之后会转化成爪形（箭头形）矩阵。 例 3.3.3. 求下列行列式： Δ=∣x1b1a2⋯b1anb2a1x2⋯b2an⋮⋮⋱⋮bna1bna2⋯xn∣\Delta = \begin {vmatrix} x_1 & b_1 a_2 & \cdots & b_1 a_n \\ b_2 a_1 & x_2 & \cdots & b_2 a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n a_1 & b_n a_2 & \cdots & x_n \end {vmatrix} Δ=x1b2a1⋮bna1b1a2x2⋮bna2⋯⋯⋱⋯b1anb2an⋮xn 解：使用升阶法解决这个行列式问题。 Δ=∣1a1a2⋯an0x1b1a2⋯b1an0b2a1x2⋯b2an⋮⋮⋮⋱⋮0bna1bna2⋯xn∣=将第1行的−bi倍加至第i+1行∣1a1a2⋯an−b1x1−b1a10⋯0−b20x2−b2a2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮−bn00⋯xn−bnan∣\begin {aligned} \Delta &= \begin {vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & x_1 & b_1 a_2 & \cdots & b_1 a_n \\ 0 & b_2 a_1 & x_2 & \cdots & b_2 a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b_n a_1 & b_n a_2 & \cdots & x_n \end {vmatrix} \\ & \xlongequal {将第 1 行的 -b_{i} 倍加至第 i + 1 行} \begin {vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -b_1 & x_1 - b_1 a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b_2 & 0 & x_2 - b_2 a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b_n & 0 & 0 & \cdots & x_n - b_n a_n \end {vmatrix} \end {aligned} Δ=100⋮0a1x1b2a1⋮bna1a2b1a2x2⋮bna2⋯⋯⋯⋱⋯anb1anb2an⋮xn将第1行的−bi倍加至第i+1行1−b1−b2⋮−bna1x1−b1a10⋮0a20x2−b2a2⋮0⋯⋯⋯⋱⋯an00⋮xn−bnan 随后在利用爪形行列式的计算方法计算。 # 拆项递推法 适用该方法的行列式具有的特征：主对角线上方和下方元素分别全部相同。 计算目标：通过拆项，将其中一列元素拆成一个除了顶角元素以外，全部为 000 的行列式（方便降阶产生形状类似的更小的行列式），和一个其中一列完全相同的行列式（方便提公因数，然后用列相消得到三角矩阵） 例 4.4.4. 计算下列行列式： Δn=∣x1aa⋯abx2a⋯abbx3⋯a⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯xn∣\Delta_n = \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & a \\ b & x_2 & a & \cdots & a \\ b & b & x_3 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & x_n \end {vmatrix} Δn=x1bb⋮bax2b⋮baax3⋮b⋯⋯⋯⋱⋯aaa⋮xn 解： Δn=∣x1aa⋯0bx2a⋯0bbx3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯xn−a∣+∣x1aa⋯abx2a⋯abbx3⋯a⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯a∣=(xn−a)Δn−1+a∣x1aa⋯1bx2a⋯1bbx3⋯1⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯1∣=每一列减去最后一列的b倍(xn−a)Δn−1+a∣x1−ba−ba−b⋯10x2−ba−b⋯100x3−b⋯1⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1∣=(xn−a)Δn−1+a∏i=1n−1(xi−b)\begin {aligned} \Delta_n & = \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & 0 \\ b & x_2 & a & \cdots & 0 \\ b & b & x_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & x_n - a \end {vmatrix} + \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & a \\ b & x_2 & a & \cdots & a \\ b & b & x_3 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end {vmatrix} \\ & = (x_n - a) \Delta_{n - 1} + a \begin {vmatrix} x_1 & a & a & \cdots & 1 \\ b & x_2 & a & \cdots & 1 \\ b & b & x_3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & 1 \end {vmatrix} \\ & \xlongequal {每一列减去最后一列的 b 倍} (x_n - a) \Delta_{n - 1} + a \begin {vmatrix} x_1 - b & a - b & a - b & \cdots & 1 \\ 0 & x_2 - b & a - b & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & x_3 - b & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end {vmatrix} \\ & = (x_n - a) \Delta_{n - 1} + a \prod_{i = 1}^{n - 1} (x_i - b) \end {aligned} Δn=x1bb⋮bax2b⋮baax3⋮b⋯⋯⋯⋱⋯000⋮xn−a+x1bb⋮bax2b⋮baax3⋮b⋯⋯⋯⋱⋯aaa⋮a=(xn−a)Δn−1+ax1bb⋮bax2b⋮baax3⋮b⋯⋯⋯⋱⋯111⋮1每一列减去最后一列的b倍(xn−a)Δn−1+ax1−b00⋮0a−bx2−b0⋮0a−ba−bx3−b⋮0⋯⋯⋯⋱⋯111⋮1=(xn−a)Δn−1+ai=1∏n−1(xi−b) 考虑到转置不会改变行列式的值，于是 a,ba, ba,b 互换位置后有： Δn=(xn−b)Δn−1+b∏i=1n−1(xi−a)\Delta_n = (x_n - b) \Delta_{n - 1} + b \prod_{i = 1}^{n - 1} (x_i - a) Δn=(xn−b)Δn−1+bi=1∏n−1(xi−a) 联立两式可解得： Δn=a∏i=1n(xi−b)−b∏i=1n(xi−a)a−b\Delta_n = \frac {a \prod\limits_{i = 1}^n (x_i - b) - b \prod\limits_{i = 1}^n (x_i - a)} {a - b} Δn=a−bai=1∏n(xi−b)−bi=1∏n(xi−a) 注意：上述方法仅在 a≠ba \not = ba=b 时成立，若 a=ba = ba=b，则符合升阶法所适用的行列式的特点。 # 三对角线形行列式 特点：主对角线与上下两条对角线上有元素，其余为 000。 计算目标：将对角线上下两条线中的某一条的元素全化为 000，或使用递推法。 例 5.5.5. 求下列行列式： Δ=∣2100⋯01210⋯00121⋯0⋮⋮⋱⋱⋱⋮00⋯⋱2100⋯⋯12∣\Delta = \begin {vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ddots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 1 & 2 \end {vmatrix} Δ=210⋮00121⋮00012⋱⋯⋯001⋱⋱⋯⋯⋯⋯⋱21000⋮12 思路：用下面一行乘以第一行的倍数相加，使最下面对角线元素均为零。最终会得到： ∣2100⋯003210⋯000431⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮00⋯⋯n−1n100⋯⋯0n+1n∣\begin {vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac 3 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac 4 3 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & \frac {n - 1} n & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & \frac {n + 1} n \end {vmatrix} 200⋮001230⋮000134⋮⋯⋯001⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋱nn−10000⋮1nn+1 易知 Δ=n+1\Delta = n + 1Δ=n+1。 # 证明行列式可以被某一整数整除 例 6.6.6. 不计算行列式的值，证明行列式： Δ=∣1221913899908640∣\Delta = \begin {vmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 9 & 1 & 3 & 8 \\ 9 & 9 & 9 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 0 \end {vmatrix} Δ=1998219623941800 能被 181818 整除。 证法 111：已知 18=2×918 = 2 \times 918=2×9，而第 3,43, 43,4 行分别能被 999 和 222 整除。 证法 222：容易验证 1998,2196,2394,18001998, 2196, 2394, 18001998,2196,2394,1800 都能被 181818 整除，将 Δ\DeltaΔ 的第 1,2,31, 2, 31,2,3 行分别乘以 1000,100,101000, 100, 101000,100,10 加到第 444 行，得到上面 444 个数，这意味着第 444 行可被 181818 整除，进而获证。 行列式范德蒙德行列式